Задание 4. Решите уравнение в целых числах: $x^2y-x=x^3-y+35$. Для каждой пары решений $(x;y)$ в ответ запишите модуль $|x+y|$. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задание 4. Решите уравнение в целых числах: $x^2y-x=x^3-y+35$. Для каждой пары решений $(x;y)$ в ответ запишите модуль…$ Фото задания

Задание 4. Решите уравнение в целых числах: $x^2y-x=x^3-y+35$. Для каждой пары решений $(x;y)$ в ответ запишите модуль $|x+y|$. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Accepted Answer

Перенесём слагаемые и сгруппируем выражение:

$x^2y-x-x^3+y=35$, поэтому $(x^2+1)y-x(x^2+1)=35$.

Следовательно, $(x^2+1)(y-x)=35$. Поскольку $x,y$ — целые, положительное число $x^2+1$ должно быть положительным делителем 35. При этом $x^2+1$ может быть только 1, 5 или 35: значение 7 потребовало бы $x^2=6$, что невозможно.

1) $x^2+1=1$: $x=0$, $y-x=35$, значит, $y=35$. Тогда $|x+y|=35$.

2) $x^2+1=5$: $x=\pm2$, $y-x=7$. Получаем пары $(2;9)$ и $(-2;5)$; модули равны 11 и 3.

3) $x^2+1=35$ невозможно, так как 34 не является квадратом целого числа.

Ответ: 35, 11, 3.