Задание 4. Решите уравнение в целых числах: x²y − x = x³ − y + 35. Для каждой пары решений (x; y) ответьте на вопрос: чему равно x + y?

Перенесём слагаемые и сгруппируем выражение:

\(x^2y-x=x^3-y+35\), поэтому \((x^2+1)y=x^3+x+35\).

Так как \(x^3+x=x(x^2+1)\), получаем \((x^2+1)(y-x)=35\). Значит, положительное целое число \(x^2+1\) должно быть делителем 35. Возможны значения 1 и 5: при \(x=0\) получаем \(y=35\), а при \(x=2\) — \(y=9\). Отрицательных значений x нет, поскольку \(x^2+1=5\) даёт только \(x=\pm2\), но при \(x=-2\) получается \(y=-9\), также целое решение.

Итак, целочисленные решения: \((0;35)\), \((2;9)\), \((-2;-9)\).

Ответ: значения x + y равны 35, 11 и −11 соответственно.