Задание 8. Решите уравнение [x] · {x} = 112x, где [x] — целая часть числа x (то есть наибольшее целое число, не превосходящее x), а {x} = x − [x].

Положим \([x]=n\), \(\{x\}=f\), где \(n\) — целое число, а \(0\le f<1\). Тогда \(x=n+f\), и уравнение принимает вид \(nf=112(n+f)\).

Если \(n\ge0\), левая часть меньше или равна n, а правая при \(x>0\) значительно больше; при \(x=0\) равенство верно. Если \(n=-k\), где \(k\) — положительное целое число, то \(kf=112(k-f)\), откуда \(f=112k/(k+112)\). Условие \(f<1\) даёт \(111k<112\), поэтому \(k=1\). Тогда \(f=112/113\), и \(x=-1+112/113=-1/113\).

Ответ: \(x=0\) или \(x=-1/113\).