Задание № 4. В равностороннем треугольнике \(ABC\) со стороной, равной 12, провели высоту \(AH\). Найдите \(\left|\overrightarrow{CH}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}\right|\).

Так как \(-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AB}\), выражение под модулем равно \(\overrightarrow{CH}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}\). По правилу сложения векторов вдоль пути \(C\to H\to C\to B\to A\) можно сначала объединить \(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}\). Поэтому

\[\overrightarrow{CH}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AH}.\]

Значит, искомая длина равна высоте равностороннего треугольника со стороной 12:

\[AH=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{144-36}=\sqrt{108}=6\sqrt3.\]

Ответ: \(6\sqrt3\).