Задание № 5. (7 балл) На сторонах AB, BC, CD и DA квадрата ABCD отмечены соответственно точки N, P, K, M так, что AN = BP = CK = DM. Докажите, что NK = PM.

Пусть сторона квадрата равна \(a\), а общая длина AN, BP, CK и DM равна \(t\). Введём координаты: A(0; 0), B(a; 0), C(a; a), D(0; a). Тогда N(t; 0), P(a; t), K(a − t; a), M(0; a − t).

По формуле расстояния:

\(NK^2 = (a − 2t)^2 + a^2\).

\(PM^2 = a^2 + (a − 2t)^2\).

Следовательно, \(NK^2 = PM^2\). Длины отрезков неотрицательны, поэтому \(NK = PM\). Что и требовалось доказать.