Задание 5. Докажите, что если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пусть диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O и делятся ею пополам: AO = OC и BO = OD.

1. ∠AOB = ∠COD как вертикальные углы. Вместе с AO = OC и BO = OD это даёт равенство треугольников AOB и COD по двум сторонам и углу между ними.
2. Из равенства треугольников следует ∠ABO = ∠CDO. Это накрест лежащие углы при прямых AB и CD и секущей BD, поэтому AB ∥ CD.
3. Треугольники AOD и COB равны по двум сторонам и углу между ними: AO = OC, OD = OB, ∠AOD = ∠COB как вертикальные. Поэтому ∠ADO = ∠CBO, откуда AD ∥ BC.

У четырёхугольника обе пары противоположных сторон параллельны, значит, ABCD — параллелограмм.