Задание №5. Две медианы треугольника равны 9√2 и 12 и пересекаются под углом 135°. Найдите стороны этого треугольника.

Обозначим точку пересечения медиан через O. Центр тяжести делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому расстояния от вершин до O равны \(\frac{2}{3}\cdot 9\sqrt{2}=6\sqrt{2}\) и \(\frac{2}{3}\cdot 12=8\). Угол между этими отрезками равен \(135^\circ\).

Поскольку O — центр тяжести, для радиус-векторов вершин выполняется \(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=0\). По теореме косинусов для сторон треугольника:

\(AB^2=(6\sqrt{2})^2+8^2-2\cdot 6\sqrt{2}\cdot 8\cos 135^\circ=232\), поэтому \(AB=2\sqrt{58}\).

\(AC^2=4(6\sqrt{2})^2+8^2+4\cdot(6\sqrt{2})\cdot 8\cos 135^\circ=160\), поэтому \(AC=4\sqrt{10}\).

\(BC^2=(6\sqrt{2})^2+4\cdot 8^2+4\cdot(6\sqrt{2})\cdot 8\cos 135^\circ=136\), поэтому \(BC=2\sqrt{34}\).

Ответ: стороны треугольника — \(2\sqrt{58}\), \(4\sqrt{10}\) и \(2\sqrt{34}\).