Задание 5. Летящая пуля попадает в мешок с песком и углубляется на 15 см. На какую глубину войдёт в песок такая же пуля, если её скорость увеличить в 1,5 раза? Считать, что сила сопротивления при движении пули в песке постоянна, а мешок неподвижен.

Решение:

Дано:

• \( h_1 = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м} \)
• \( v_2 = 1.5 v_1 \)
• Сила сопротивления \( F_{сопр} \) постоянна.

Найти:

• \( h_2 \)

Формула:

По теореме о кинетической энергии, работа силы равна изменению кинетической энергии:

• \( A = \Delta E_k \)
• Работа силы сопротивления \( A_{сопр} = -F_{сопр} · h \) (знак минус, так как сила направлена против движения).
• Изменение кинетической энергии \( \Delta E_k = E_{k, \text{конечная}} - E_{k, \text{начальная}} \). В конце движения пуля останавливается, \( E_{k, \text{конечная}} = 0 \).
• \( -F_{сопр} · h = 0 - \frac{1}{2} m v^2 \)
• \( F_{сопр} · h = \frac{1}{2} m v^2 \)

Вычисления:

Из этого соотношения следует, что глубина погружения \( h \) пропорциональна квадрату начальной скорости:

• \( h ∝ v^2 \)
• \( h = k · v^2 \), где \( k = \frac{1}{2 F_{сопр}} \) — коэффициент пропорциональности.

Для первого случая:

• \( h_1 = k · v_1^2 \)

Для второго случая, когда скорость увеличивается в 1,5 раза:

• \( v_2 = 1.5 v_1 \)
• \( h_2 = k · v_2^2 = k · (1.5 v_1)^2 = k · 2.25 v_1^2 \)
• \( h_2 = 2.25 · (k · v_1^2) = 2.25 · h_1 \)

Подставим значение \( h_1 \):

• \( h_2 = 2.25 · 0.15 \text{ м} = 0.3375 \text{ м} \)
• Переведём в сантиметры: \( h_2 = 33.75 \text{ см} \)

Ответ: 33.75 см