Задание №5. На сторонах AB, BC, CD и AD квадрата ABCD отметили соответственно точки R, M, F и N так, что MN ⟂ RF. Найдите длину отрезка RF, если AB = 7, MN = 8.

Обозначим сторону квадрата через \(s=7\). Введём координаты: \(A=(0,0), B=(s,0), C=(s,s), D=(0,s)\). Пусть \(R=(r,0), M=(s,m), F=(f,s), N=(0,n)\).

Из условия \(MN\perp RF\) следует, что скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{MN}=(s,-n+m)\) и \(\overrightarrow{RF}=(f-r,s)\) равно нулю. Это даёт \(s(f-r)+s(m-n)=0\), то есть \(f-r=n-m\).

Тогда \(MN^2=s^2+(n-m)^2=8^2\), а \(RF^2=(f-r)^2+s^2=(n-m)^2+s^2\). Значит, \(RF=MN=8\).

Ответ: 8.