Задание 5. Реши задачу. АВС — треугольник. Точка М — середина АВ, точка К — середина ВС. МК пересекает плоскость α в точке Н. Докажи, что АС пересекает плоскость α.

Дано: АВС — треугольник; М — середина АВ; К — середина ВС; МК пересекает плоскость α в точке Н.

Доказать: АС пересекает плоскость α.

Доказательство:

1. Так как М и К — середины сторон АВ и ВС треугольника АВС, отрезок МК является средней линией треугольника.
2. По свойству средней линии МК ∥ АС.
3. Точки М и К принадлежат плоскости АВС, поэтому прямая МК лежит в плоскости АВС. Так как МК пересекает α в точке Н, точка Н принадлежит обеим плоскостям α и АВС.
4. Плоскости α и АВС пересекаются по прямой, проходящей через Н. Эта прямая параллельна МК (если плоскости различны); поскольку АС ∥ МК, она совпадает с АС. Следовательно, Н ∈ АС, то есть АС пересекает α в точке Н.