Задание №5. Точка M — середина стороны CD параллелограмма ABCD. Расстояние от вершины B данного параллелограмма до прямой AM равно 4. Найдите длину стороны AD, если известно, что ∠MAD = 30°.

Обозначим длину AD через d, а расстояние между параллельными прямыми AD и BC через h. Так как M — середина CD, точка M находится на половине расстояния между этими прямыми. Поэтому расстояние от M до AD равно h/2.

Угол между AM и AD равен 30°. Перпендикулярное расстояние от M до AD также равно AM · sin 30°, то есть AM/2. Следовательно, h/2 = AM/2, откуда h = AM.

Расстояние от B до прямой AM равно d · h/AM: основание AB параллельно CD, а перпендикулярная составляющая отрезка AB относительно AM равна d · sin 30°, тогда как расстояние от A до прямой CD равно h. Эквивалентно, из координат при AD = (d, 0) и AM, направленном под углом 30° к AD, получается расстояние от B до AM, равное d · sin 30°.

Значит, 4 = d · sin 30° = d/2, откуда d = 8.

Ответ: 8.