Задание №5. В равнобедренной трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD. Найдите AD, если BC = 9 см, а ∠D = 60°.

Опустим высоты из концов меньшего основания на большее основание. Из-за равнобедренности горизонтальные отрезки у концов равны; обозначим каждый через \(x\), а высоту — через \(h\).

Из прямоугольного треугольника у вершины D и условия \(\angle D=60°\): \(h=x\tan60°=\sqrt{3}x\).

Так как \(AC\perp CD\), их направляющие векторы перпендикулярны. В координатах можно взять \(D=(0,0)\), \(C=(x,h)\), \(A=(AD,0)\). Тогда \((x,h)\cdot(x-AD,h)=0\), то есть \(x(x-AD)+h^2=0\). Подставляя \(h^2=3x^2\), получаем \(AD=4x\).

Меньшее основание равно большему основанию минус два равных крайних отрезка: \(BC=AD-2x=2x=9\). Значит, \(x=4.5\), а \(AD=4x=18\) см.

Ответ: 18 см.