Задание 5. В треугольнике ABC медиана AM перпендикулярна стороне AC. Известно, что сторона AC в два раза меньше стороны AB. Найдите угол BAC.

Так как AM — медиана к стороне BC, точка M — середина BC, поэтому BM = CM.

Поскольку AM ⟂ AC, треугольники AMC и AMB прямоугольные при M? Нет: перпендикулярность дана к AC, значит прямой угол образован AM и AC, то есть в треугольнике AMC угол A равен 90°. Применим координаты: положим A=(0,0), C=(c,0), M=(0,m), поскольку AM перпендикулярна AC. Тогда из того, что M — середина BC, получаем B=2M−C=(-c,2m). Следовательно, AB²=c²+4m², а AC=c. Условие AC=AB/2 даёт AB=2c, поэтому c²+4m²=4c² и 4m²=3c².

Векторы AB=(-c,2m) и AC=(c,0). Угол между ними имеет cos∠BAC = (AB·AC)/(|AB||AC|)=−c²/(2c²)=−1/2, значит ∠BAC=120°.

Ответ: 120°.