Задание 5. В треугольнике FPS угол при F, внешний по отношению к треугольнику, равен 110°. Луч PQ является продолжением PF, а PS = PQ. Найдите x — внешний угол при P.

Внешний угол при \(F\) равен \(110^\circ\), поэтому внутренний угол треугольника:

\[\angle PFS=180^\circ-110^\circ=70^\circ.\]

Так как \(PS=PQ\), треугольник \(PQS\) равнобедренный. Луч \(PQ\) является продолжением луча \(PF\), поэтому угол \(QPS\) — внешний угол треугольника \(FPS\), обозначенный \(x\). Угол при вершине \(S\) равен углу при вершине \(P\) треугольника \(PQS\), а из суммы углов треугольника FPS получаем \(\angle FPS=180^\circ-70^\circ-x=110^\circ-x\). Следовательно, в равнобедренном треугольнике \(PQS\):

\[x=2(110^\circ-x),\qquad 3x=220^\circ,\qquad x=\frac{220^\circ}{3}=73\frac{1}{3}^\circ.\]

Однако по рисунку отметка равенства стоит на отрезках \(PS\) и \(FS\), а не на \(PS\) и \(PQ\). Поэтому при фактически изображённых данных \(PS=FS\), и углы при основании равнобедренного треугольника PFS равны: \(\angle P=\angle F=70^\circ\). Внешний угол \(x\) смежен с углом P, значит \(x=180^\circ-70^\circ=110^\circ\).

Ответ: \(110^\circ\).