Задание №6. Диагональ AC квадрата ABCD равна 4 см. Прямая, проходящая через вершину A и перпендикулярная к прямой AC, пересекает прямые BC и CD соответственно в точках M и N. Найдите MN.

Пусть сторона квадрата равна \(a\). По теореме Пифагора для диагонали квадрата \(a\sqrt{2}=4\), поэтому \(a=2\sqrt{2}\) см.

Введём координаты: \(A=(0,0)\), \(B=(a,0)\), \(C=(a,a)\), \(D=(0,a)\). Диагональ \(AC\) имеет наклон 1, поэтому перпендикулярная ей прямая через \(A\) задаётся уравнением \(y=-x\). Она пересекает прямую \(BC\) в точке \(M=(a,-a)\), а прямую \(CD\) — в точке \(N=(-a,a)\).

Тогда \(MN=\sqrt{(2a)^2+(-2a)^2}=2a\sqrt{2}=2\cdot 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=8\) см.

Ответ: 8 см.