Задание 6. Докажите, что четырёхугольник, вершины которого — середины сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом.

Пусть \(M,N,P,Q\) — середины сторон \(AB,BC,CD,DA\) соответственно произвольного четырёхугольника \(ABCD\). Проведём его диагонали \(AC\) и \(BD\).

1. В треугольнике \(ABC\) отрезок \(MN\) соединяет середины двух сторон. По теореме о средней линии треугольника \(MN\parallel AC\) и \(MN=\frac12 AC\).
2. В треугольнике \(ADC\) отрезок \(QP\) также соединяет середины двух сторон. Поэтому \(QP\parallel AC\) и \(QP=\frac12 AC\). Значит, \(MN\parallel QP\) и \(MN=QP\).
3. Аналогично, в треугольниках \(BCD\) и \(BAD\) средние линии \(NP\) и \(MQ\) параллельны диагонали \(BD\) и равны её половине. Следовательно, \(NP\parallel MQ\) и \(NP=MQ\).

У четырёхугольника \(MNPQ\) обе пары противоположных сторон параллельны, поэтому он является параллелограммом.

Доказано.