ЗАДАНИЕ 6. На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно, причём MN ∥ AC и AM = BN. Найдите MN, если AB = c, BC = a и AC = b.

Обозначим AM = BN = x. Тогда BM = c − x.

1. Из подобия треугольников BMN и BAC следует: \(\dfrac{BM}{BA}=\dfrac{BN}{BC}\), то есть \(\dfrac{c-x}{c}=\dfrac{x}{a}\).
2. Решаем равенство: \(a(c-x)=cx\), поэтому \(x=\dfrac{ac}{a+c}\).
3. По подобию \(\dfrac{MN}{AC}=\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{x}{a}=\dfrac{c}{a+c}\). Значит, \(MN=\dfrac{bc}{a+c}\).

Ответ: \(MN=\dfrac{bc}{a+c}\).