ЗАДАНИЕ 8. Дана трапеция ABCD с основаниями AD = a, BC = b (a > b). На боковых сторонах AB и CD выбраны точки M и N соответственно, причём MN ∥ AD. Известно, что прямая MN проходит через точку Q пересечения диагоналей AC и BD. Найдите MN.

Обозначим через \(t\) долю расстояния от основания AD до параллельного ему сечения MN.

1. Точка пересечения диагоналей делит диагональ AC в отношении оснований: \(AQ:QC=AD:BC=a:b\). Поэтому \(t=\dfrac{AQ}{AC}=\dfrac{a}{a+b}\).
2. Длина параллельного основания на доле \(t\) равна \(MN=a(1-t)+bt\).
3. Подставляем значение \(t\): \(MN=a\left(1-\dfrac{a}{a+b}\right)+b\cdot\dfrac{a}{a+b}=\dfrac{2ab}{a+b}\).

Ответ: \(MN=\dfrac{2ab}{a+b}\).