ЗАДАНИЕ 7. На боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD выбраны точки M и N соответственно, причём MN ∥ AD. Прямая MN пересекает диагонали AC и BD в точках K и L соответственно. Известно, что AD = a, BC = b (a > b) и MK = KL = LN. Найдите MN.

Пусть \(t\) — доля расстояния от основания AD до основания BC, на которой проходит MN. Поскольку MN параллельна основаниям, соответствующие отрезки меняются пропорционально этой доле.

1. Из подобия треугольников AMK и ABC получаем \(MK=t\cdot BC=tb\). Аналогично, \(LN=tb\).
2. Длина параллельного основания сечения равна \(MN=a(1-t)+bt\). Поэтому \(KL=MN-MK-LN=a(1-t)-bt\).
3. По условию \(MK=KL\), значит \(tb=a(1-t)-bt\). Отсюда \(t(a+2b)=a\), поэтому \(t=\dfrac{a}{a+2b}\).
4. Так как три отрезка равны, \(MN=MK+KL+LN=3tb\). Подставляем найденное \(t\): \(MN=\dfrac{3ab}{a+2b}\).

Ответ: \(MN=\dfrac{3ab}{a+2b}\).