Задание №6. На сторонах ES, SC, CD и ED квадрата ESCD отметили соответственно точки R, M, F и N так, что MN ⟂ RF. Найдите длину отрезка RF, если ES = 9, MN = 10.

Введём координаты: E(0; 0), S(9; 0), C(9; 9), D(0; 9). Тогда R=(x; 0), M=(9; y), F=(z; 9), N=(0; t).

Векторы \(\overrightarrow{MN}=(9; y-t)\) и \(\overrightarrow{RF}=(z-x; 9)\) перпендикулярны, значит их скалярное произведение равно нулю:

\(9(z-x)+9(y-t)=0\), откуда \(z-x=t-y\).

Следовательно, квадраты длин отрезков равны:

\(RF^2=(z-x)^2+9^2=(t-y)^2+9^2=MN^2\).

Значит, \(RF=MN=10\).

Ответ: 10.