Задание 6. Найдите все тройки действительных чисел $a\ge b\ge c$ такие, что $a+b+c=306$ и $a^2+b^2+c=b^2+c^2+a=c^2+a^2+b$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задание 6. Найдите все тройки действительных чисел $a\ge b\ge c$ такие, что $a+b+c=306$ и…$ Фото задания

Accepted Answer

Из равенства первых двух выражений получаем $(a-c)(a+c-1)=0$, а из равенства вторых двух — $(a-b)(a+b-1)=0$.

Если $a=c$, то из $a\ge b\ge c$ следует $a=b=c$. Поэтому $3a=306$, откуда $(a,b,c)=(102,102,102)$.
Если $a\ne c$, то $a+c=1$. Так как $a\ge b\ge c$, имеем $a-b\ge0$, а $a+b-1=(a+c)+(b-c)=1+(b-c)>0$. Значит, из $(a-b)(a+b-1)=0$ следует $a=b$. Тогда $2a+c=306$ и $a+c=1$, откуда $a=b=305,c=-608\frac{}{}$. Исправляя вычисление из этих двух уравнений: вычитая второе из первого, получаем $a=305$, а затем $c=-304$.

Обе найденные тройки удовлетворяют исходным равенствам.

Ответ: $(102,102,102)$, $(305,305,-304)$.

Задание 6. Найдите все тройки действительных чисел \(a\ge b\ge c\) такие, что \(a+b+c=306\) и \(a^2+b^2+c=b^2+c^2+a=c^2+a^2+b\).