Задание 6 (повышенный уровень, 3 балла). Докажите, что четырёхугольник, вершины которого — середины сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом.

Пусть E, F, G, H — середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно произвольного четырёхугольника ABCD.

1. Рассмотрим треугольник ABC. Отрезок EF соединяет середины AB и BC, поэтому по теореме о средней линии EF ∥ AC и EF = AC/2.

2. Рассмотрим треугольник ADC. Отрезок HG соединяет середины AD и DC, поэтому HG ∥ AC и HG = AC/2.

3. Следовательно, EF ∥ HG и EF = HG. Если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон равна и параллельна, то он является параллелограммом.

Итак, четырёхугольник EFGH является параллелограммом.