Задание 6. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 13, а одна из диагоналей ромба равна 52. Найдите углы ромба.

Точка пересечения диагоналей — центр ромба. Расстояние от неё до стороны равно половине высоты ромба, поэтому высота равна 2 · 13 = 26.

Площадь ромба можно выразить через сторону a и высоту: S = 26a. Также площадь равна половине произведения диагоналей. Пусть вторая диагональ равна d. Тогда S = 52d / 2 = 26d, откуда a = d.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Из прямоугольного треугольника с катетами 26 и d/2 и гипотенузой a получаем: a² = 26² + (d/2)². Подставляя a = d, имеем d² = 676 + d²/4, откуда d = 52/√3.

Диагональ ромба делит его углы пополам. Для половины острого угла тангенс равен отношению половин диагоналей: (d/2)/26 = 1/√3. Значит, половина острого угла равна 30°, а острый угол — 60°. Второй угол равен 180° − 60° = 120°.

Ответ: 60° и 120°.