Задание 6. Разложите многочлен х³ — 10х² + 25х на множители вида х + k.

Решение:

Чтобы разложить многочлен \( x^3 - 10x^2 + 25x \) на множители, сначала вынесем общий множитель \( x \) за скобки:

\( x^3 - 10x^2 + 25x = x(x^2 - 10x + 25) \)

Теперь рассмотрим выражение в скобках: \( x^2 - 10x + 25 \). Это полный квадрат разности, так как \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \). В нашем случае \( a = x \) и \( b = 5 \).

Проверим: \( x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25 \).

Таким образом, \( x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2 \).

Полное разложение многочлена на множители:

\( x(x^2 - 10x + 25) = x(x - 5)^2 \)

Многочлен разложен на множители вида \( x \) и \( (x - 5)^2 \). Если подставить \( k = -5 \) в выражение \( (x + k)^2 \), то получим \( (x - 5)^2 \). Однако, требование разложить на множители вида \( x + k \) подразумевает, что каждый множитель должен быть линейным, т.е. \( (x + k_1)(x + k_2)... \). В данном случае, множители \( x \) и \( (x-5) \) являются линейными. Учитывая, что \( (x-5)^2 = (x-5)(x-5) \), множителями являются \( x \) и \( (x-5) \).

Ответ: \( x(x - 5)^2 \).