Задание 6. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро AB=3, ребро AD=5, ребро AA₁=8. Точка M — середина ребра BB₁. Найди периметр сечения, проходящего через точки A₁, D₁ и M.

Обозначим N — точку пересечения плоскости сечения с ребром CC₁. Поскольку M — середина BB₁, а ребро CC₁ параллельно BB₁, пересечение на противоположном ребре также является серединой: N — середина CC₁. Сечение — четырёхугольник A₁D₁NM.

1. Верхняя сторона: A₁D₁ = AD = 5.
2. Так как BB₁ = CC₁ = AA₁ = 8, имеем BM = CN = 4. В прямоугольнике основания BC = AD = 5. Поэтому по теореме Пифагора: MN = √(BC² + (CN − BM)²) = √(5² + 0²) = 5.
3. Ребро D₁N — диагональ прямоугольника D₁DCC₁. Его стороны равны DD₁ = 8 и DC = AB = 3, значит D₁N = √(8² + 3²) = √73.
4. Аналогично MA₁ = √(8² + 3²) = √73.

Периметр сечения равен сумме сторон: P = 5 + 5 + √73 + √73 = 10 + 2√73 ≈ 27.09.

Ответ: 10 + 2√73 ≈ 27,09.