Задание 6. Василий Иванович выписывает на доску подряд натуральные числа: 12345678910111213… Выписав очередное число, он заметил, что получившуюся запись можно разделить на три фрагмента так, что в каждом из них будет записано чётное число единиц, чётное число двоек и чётное число пятёрок. (Напомним, что 0 — тоже чётное число; так, например, в числе 555 чётное число шестёрок.) Василий Иванович внимательно посмотрел на доску и понял, что ранее такую операцию проделать было нельзя. Какое число Василий Иванович написал последним?

Рассмотрим чётности количества цифр 1, 2 и 5 в последовательных префиксах записи. Три фрагмента имеют чётные количества этих цифр тогда и только тогда, когда чётности префикса в начале каждого фрагмента совпадают.

Поэтому для разбиения записи на три фрагмента нужно, чтобы состояние чётностей (0, 0, 0) встретилось в четырёх различных позициях: в начале записи и на трёх границах фрагментов.

При просмотре записи чисел подряд состояние (0, 0, 0) впервые после начала возвращается в конце числа 15. Следующий возврат происходит после цифры 1 в числе 17; к концу числа 17 получается ещё одна граница с тем же состоянием. Следовательно, впервые три фрагмента можно выделить в записи, заканчивающейся числом 17.

Ответ: 17.