Задание 6 В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 57 записывается в виде 321. Укажите это основание.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

Представим число 321 в системе счисления с основанием x:

321ₓ = 3 * x² + 2 * x¹ + 1 * x⁰

По условию, это равно десятичному числу 57:

3x² + 2x + 1 = 57

Перенесем 57 в левую часть уравнения:

3x² + 2x + 1 - 57 = 0

3x² + 2x - 56 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение относительно x. Используем дискриминант:

D = b² - 4ac

Где a = 3, b = 2, c = -56.

D = 2² - 4 * 3 * (-56)

D = 4 + 12 * 56

D = 4 + 672

D = 676

√D = √676 = 26

Теперь найдем корни x:

x₁ = (-b + √D) / 2a = (-2 + 26) / (2 * 3) = 24 / 6 = 4

x₂ = (-b - √D) / 2a = (-2 - 26) / (2 * 3) = -28 / 6 = -14/3

Основание системы счисления должно быть натуральным числом, большим 1 (и большим всех цифр в числе, т.е. больше 3). Следовательно, основание равно 4.

Проверка: 321₄ = 3 * 4² + 2 * 4¹ + 1 * 4⁰ = 3 * 16 + 2 * 4 + 1 * 1 = 48 + 8 + 1 = 57.

Ответ: 4