Задание 7 (2 балла). Биссектрисы углов C и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке L, лежащей на стороне AB. Докажите, что L — середина AB.

Обозначим \(\angle A=\alpha\). Тогда \(\angle B=180°-\alpha\), а \(\angle C=\alpha\).

Поскольку AB ∥ CD, угол между биссектрисой угла C и прямой AB равен половине угла C, то есть \(\alpha/2\). Аналогично биссектриса угла D образует с AB угол, равный половине угла D, то есть \((180°-\alpha)/2\).

Треугольник, образованный точками A, B и L, имеет при A угол \((180°-\alpha)/2\), а при B угол \(\alpha/2\): эти углы дополняют соответствующие половины углов параллелограмма до 180°. Их сумма равна 90°, поэтому \(\angle ALB=90°\). Но для доказательства середины важнее равенство сторон: из параллельности AB и CD и биссектрисы угла C следует, что в треугольнике BCL углы при B и C равны, значит \(BL=BC\). Аналогично из биссектрисы угла D получается \(AL=AD\). В параллелограмме \(AD=BC\), следовательно, \(AL=BL\).

Так как L лежит на AB и \(AL=BL\), точка L — середина AB.

Доказано.