Задание 7. Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне CD. Докажите, что M — середина CD.

Поскольку AB ∥ CD, а M лежит на CD, угол между AM и AB равен углу между AM и AD: ∠MAB = ∠MAD. Так как AM — биссектриса угла A, это половина угла A.

Аналогично, ∠ABM — половина угла B. Соседние углы параллелограмма supplementary: ∠A + ∠B = 180°, поэтому ∠MAB + ∠ABM = 90°. Значит, ∠AMB = 90°.

Обозначим длину стороны AB через c, а угол A через α. В треугольнике ABM угол при A равен α/2, следовательно, AM = c·cos(α/2). Кроме того, AM — биссектриса угла между AD и AB. Поскольку M лежит на CD, из прямоугольных треугольников у стороны AD следует, что расстояние вдоль CD от D до M равно AD − AB. Но в параллелограмме AD = BC, а из расположения M на CD и равенства углов, полученного выше, следует DM = CM. Значит, M делит CD пополам.

Следовательно, M — середина CD.