Задание 7. Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне AD. Докажите, что M — середина AD.

Обозначим через N точку пересечения биссектрисы угла B со стороной AD. Поскольку AB ∥ CD, а BC — секущая, соседние внутренние углы B и C supplementary: ∠B + ∠C = 180°.

Биссектрисы supplementary-углов перпендикулярны, поэтому биссектрисы углов B и C взаимно перпендикулярны. Однако из этого само по себе не следует, что M — середина AD; нужно использовать равенство сторон параллелограмма и положение M на AD.

Поскольку M лежит на AD и на биссектрисе угла B, расстояния от M до прямых BA и BC равны. Прямые BA и BC пересекаются в B, а точки A и D лежат на прямой AD, параллельной BC. Из равенства расстояний следует, что расстояние от M до BA равно расстоянию между BC и AD. Это даёт AM = AB.

Аналогично, так как M лежит на биссектрисе угла C, расстояния от M до прямых CB и CD равны, откуда MD = CD.

В параллелограмме AB = CD, поэтому AM = MD. Следовательно, M — середина AD.

Что и требовалось доказать.