Задание 7. Даны 100 карточек с числами 1, 2, …, 100. Петя для каждой пары карточек выписал на доску их сумму и разность. Так на доске оказались выписаны 9900 чисел. Какие числа выписаны на доске ровно 60 раз? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Рассмотрим число \(n\) от 1 до 100. Оно получается как разность на \(100-n\) парах: для каждой большей карточки \(n+1,\ldots,100\) есть одна такая пара.

Как сумма число \(n\) получается на \(\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor\) парах различных карточек: это пары положительных чисел с суммой \(n\), без учёта порядка.

Итого для \(1\le n\le100\) число появлений равно \(100-n+\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor\). Приравнивая к 60, получаем решения \(n=78\) и \(n=79\). Суммы больше 100 появляются не более 49 раз, поэтому других ответов нет.

Ответ: 78 и 79.