Задание 8. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что $\angle ABD=\angle ACD=90^\circ$. Перпендикуляр к AD, проведённый из точки B, пересекает отрезок AC в точке K. Найдите длину отрезка KC, если AB=7, AK=2.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задание 8. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что $\angle ABD=\angle ACD=90^\circ$. Перпендикуляр к AD, проведённый…$ Фото задания

Задание 8. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что $\angle ABD=\angle ACD=90^\circ$. Перпендикуляр к AD, проведённый из точки B, пересекает отрезок AC в точке K. Найдите длину отрезка KC, если AB=7, AK=2.

Accepted Answer

Обозначим через $E$ основание перпендикуляра из $B$ на $AD$. Так как $BK\perp AD$ и $K\in BK$, точки $E$ и $K$ совпадают.

В прямоугольном треугольнике $ABD$ проекция катета $AB$ на гипотенузу $AD$ равна $AE$. По теореме о проекции катета: $AB^2=AD\cdot AE$.
Треугольник $ACD$ прямоугольный при $C$, поэтому по той же теореме $AC^2=AD\cdot AK$ — здесь $AK$ является проекцией катета $AC$ на гипотенузу $AD$.
Кроме того, в прямоугольном треугольнике $ABK$ имеем $AB^2=AK^2+BK^2$, а в прямоугольном треугольнике $ACK$ — $AC^2=AK^2+CK^2$. Удобнее воспользоваться подобием: треугольники $ABK$ и $ACD$ подобны, поскольку оба прямоугольные, а угол между $AB$ и $AD$ равен углу между $AC$ и $AD$ не следует из условия. Вместо этого применим проекционные равенства: $AE=AK$, так как $E=K$. Следовательно, $AB^2=AD\cdot AK$, а также $AC^2=AD\cdot AK$. Значит, $AC=AB=7$.
Тогда $KC=AC-AK=7-2=5$.

Ответ: 5.