Задание №7. Диагональ прямоугольной трапеции и её боковая сторона равны и перпендикулярны. Найдите высоту трапеции, если меньшее основание трапеции равно 7.

Пусть меньшее основание равно \(a=7\), высота — \(h\), а большее основание — \(b\). Диагональ, перпендикулярная наклонной боковой стороне и равная ей, образует с высотой и разностью оснований прямоугольный треугольник.

Обозначим \(d=b-a\). Длина диагонали равна \(\sqrt{a^2+h^2}\), а длина наклонной стороны — \(\sqrt{d^2+h^2}\). Из перпендикулярности диагонали и наклонной стороны следует \(h^2=ad\). Из равенства их длин следует \(a^2+h^2=d^2+h^2\), то есть \(d=a\). Поэтому \(h^2=a^2\), и, поскольку высота положительна, \(h=a=7\).

Ответ: 7.