Задание 7. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 234 км, вышел катер. Дойдя до пункта В, он вернулся в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Пусть $$v$$ - собственная скорость катера (км/ч). Скорость катера по течению: $$v+4$$. Скорость катера против течения: $$v-4$$. Время в пути туда: $$t_1 = \frac{234}{v+4}$$. Время в пути обратно: $$t_2 = \frac{234}{v-4}$$.

По условию, $$t_2 = t_1 - 4$$, то есть $$\frac{234}{v-4} = \frac{234}{v+4} - 4$$.

Решая уравнение, получаем: $$234(v+4) = 234(v-4) - 4(v-4)(v+4)$$.

$$234v + 936 = 234v - 936 - 4(v^2 - 16)$$.

$$1872 = -4v^2 + 64$$.

$$4v^2 = 1872 - 64 = 1808$$.

$$v^2 = 452$$.

$$v = \sqrt{452} = \sqrt{4 \times 113} = 2\sqrt{113}$$.