Задание № 7: На стороне \(AB\) равностороннего треугольника \(ABC\) взята точка \(D\) так, что сумма расстояний от неё до сторон \(AC\) и \(BC\) равна 16 см. Найдите высоту треугольника, проведённую из вершины \(C\).

Обозначим стороны треугольника через \(s\), а расстояние от \(D\) до вершины \(A\) вдоль \(AB\) — через \(x\). Угол между \(AB\) и каждой из сторон \(AC\), \(BC\) равен \(60^\circ\).

Расстояние от \(D\) до \(AC\) равно \(x\sin 60^\circ\), а до \(BC\) — \((s-x)\sin 60^\circ\).

Их сумма равна \((x+s-x)\sin 60^\circ=s\sin 60^\circ\), что совпадает с высотой равностороннего треугольника. По условию эта сумма равна 16 см.

Ответ: 16 см.