Задание 7. Найдите промежутки монотонности функции: 1) y=−(1/3)x³+(1/2)x²+1; 2) y=5x³−3x⁵.

1) \(y=−\frac13x^3+\frac12x^2+1\).

\(y'=−x^2+x=x(1−x)\). Производная отрицательна при \(x<0\), положительна при \(01\).

Функция убывает на \((−∞,0)\) и \((1,+∞)\), возрастает на \((0,1)\).

2) \(y=5x^3−3x^5\).

\(y'=15x^2−15x^4=15x^2(1−x^2)\). Производная отрицательна при \(|x|>1\) и положительна при \(|x|<1\), кроме нуля, где она равна нулю, но знак не меняет.

Функция убывает на \((−∞,−1)\) и \((1,+∞)\), возрастает на \((−1,1)\).