Задание 7. Укажите неравенство, которое не имеет решений.

Решение:

Чтобы неравенство не имело решений, его дискриминант должен быть отрицательным, а ветви параболы должны быть направлены вверх (для неравенства со знаком «<» или «≤»), либо ветви параболы должны быть направлены вниз (для неравенства со знаком «>» или «≥»), и при этом парабола не должна пересекать ось абсцисс.

Разберем каждый вариант:

1. 1) x²-5x+53<0 \( D = (-5)^2 - 4 · 1 · 53 = 25 - 212 = -187 \). \( D < 0 \). Ветви параболы направлены вверх. Функция всегда положительна, значит, неравенство \( x^2-5x+53 < 0 \) не имеет решений.
2. 2) x²-5x+53>0 \( D = -187 \). \( D < 0 \). Ветви параболы направлены вверх. Функция всегда положительна, значит, неравенство \( x^2-5x+53 > 0 \) верно для всех \( x \).
3. 3) x²-5x-53<0 \( D = (-5)^2 - 4 · 1 · (-53) = 25 + 212 = 237 \). \( D > 0 \). Есть решения.
4. 4) x²-5x-53>0 \( D = 237 \). \( D > 0 \). Есть решения.

Ответ: 1