Задание 7. В комнате находятся двадцать два человека: a мужчин и b женщин. Каждая пара мужчин пожимает друг другу руки, и каждая пара женщин пожимает друг другу руки, но между мужчинами и женщинами рукопожатий нет. Общее количество рукопожатий равно 106. Найдите произведение a · b.

Общее число людей даёт уравнение \(a+b=22\). Число рукопожатий среди мужчин и среди женщин равно \(\frac{a(a-1)}{2}+\frac{b(b-1)}{2}=106\).

Удвоим второе равенство: \(a^2+b^2-a-b=212\). Так как \(a+b=22\), получаем \(a^2+b^2=234\).

Используем равенство \((a+b)^2=a^2+b^2+2ab\): \(484=234+2ab\), откуда \(ab=125\).

Ответ: 125.