Задание 7. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC = ED. Докажите, что параллелограмм ABCD — прямоугольник.

Поскольку E — середина AB, имеем AE = EB. Также AD ∥ BC, а AB является секущей, поэтому ∠EAD = ∠EBC.

Рассмотрим треугольники AED и BEC. В них AE = EB, ED = EC (по условию), ∠EAD = ∠EBC. Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу, противолежащему большей из них? Такой признак здесь неприменим; используем равенство расстояний напрямую.

Пусть E — начало координат, а векторы \(\overrightarrow{EA}= -u\), \(\overrightarrow{EB}=u\). Обозначим \(\overrightarrow{AD}=v\). Тогда из свойств параллелограмма \(\overrightarrow{EC}=u+v\), а \(\overrightarrow{ED}=v-u\).

По условию \(EC=ED\), значит \(|u+v|^2=|v-u|^2\). Раскрывая квадраты скалярных произведений, получаем \(|u|^2+2u\cdot v+|v|^2=|v|^2-2u\cdot v+|u|^2\), откуда \(u\cdot v=0\). Следовательно, AB ⟂ AD.

Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Что и требовалось доказать.