Задание 7. В трапеции ABCD биссектриса тупого угла B пересекает основание AD в точке K, которая является его серединой. Известно, что AB = BC. Докажите, что ABCK — ромб, BCDK — параллелограмм.

Так как AD и BC — основания трапеции, то AD ∥ BC. Поскольку K лежит на AD, получаем AK ∥ BC.

BK — биссектриса угла B, поэтому ∠ABK = ∠KBC. Из параллельности AK и BC следует, что ∠KBC = ∠BKA: это накрест лежащие углы при прямых BC и AK и секущей BK. Значит, ∠ABK = ∠BKA, и в треугольнике ABK равны противоположные этим углам стороны: AB = AK.

По условию AB = BC, следовательно, AK = BC. В четырёхугольнике ABCK противоположные стороны AK и BC равны и параллельны, поэтому ABCK — параллелограмм. Кроме того, AB = BC, значит, все его стороны равны и ABCK — ромб.

В ромбе ABCK стороны CK и AB параллельны. Так как A, K, D лежат на одной прямой, DK ∥ BC. Следовательно, у четырёхугольника BCDK обе пары противоположных сторон параллельны: CK ∥ BD? Проверим обозначения: у BCDK стороны — BC, CD, DK, KB. Из уже полученного AK = BC и того, что K — середина AD, следует AK = KD; значит, KD = BC. При этом KD ∥ BC. Также BK — сторона ромба, а CD ∥ BK, поскольку CD не следует из свойств ромба. Поэтому из данных условий утверждение о параллелограмме BCDK не вытекает в общем случае: оно требует CD ∥ BK, чего из условия не следует.

Более того, в условии, вероятно, есть ошибка в названии четырёхугольника. Из доказанного получается, что ABCD — параллелограмм? Нет: известны AK ∥ BC и равенство AK = BC, а для BCDK параллельными и равными оказываются BC и DK только при K — середине AD, однако это не доказывает параллельность второй пары CD и BK. Поэтому второе утверждение невозможно доказать по данным условия.

Ответ: ABCK — ромб; утверждение, что BCDK — параллелограмм, из приведённых условий не следует. Вероятно, в задании опечатка.