Задание 9. В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC известно, что высота BH = (AD − BC)/2. Найдите углы трапеции.

Опустим из B высоту BH на основание AD, а из C — высоту CE на AD. В равнобедренной трапеции отрезки AE и HD равны, а четырёхугольник BCEH — прямоугольник, поэтому HE = BC. Следовательно, AD − BC = AE + HD = 2HD, откуда HD = (AD − BC)/2.

По условию BH = (AD − BC)/2, значит, BH = HD. Треугольник BHD прямоугольный и равнобедренный, поэтому ∠BDH = ∠DBH = 45°. Так как DH лежит на AD, ∠D = 45°. Соседние углы при боковой стороне трапеции supplementary, поэтому ∠C = 180° − 45° = 135°. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны: ∠A = ∠D, ∠B = ∠C.

Ответ: ∠A = ∠D = 45°, ∠B = ∠C = 135°.