Задание 8. В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника. Найдите углы этой трапеции.

Обозначим углы при большем основании AD через ∠A = ∠D = α, а ∠ADB = x. Поскольку AD ∥ BC, накрест лежащие углы ∠DBC и ∠ADB равны, то есть ∠DBC = x. Тогда ∠ABD = α − x.

Треугольник ABD равнобедренный. Его углы α, x и α − x. Равными не могут быть α и x (тогда третий угол был бы нулевым), а также α и α − x. Поэтому x = α − x, откуда x = α/2.

В треугольнике BCD углы при B и D равны x и α − x, то есть оба равны α/2; его третий угол равен 180° − α. Таким образом, условие о двух равнобедренных треугольниках выполняется при любом 0° < α < 180°. Единственное значение углов трапеции определить нельзя.

Ответ: данных недостаточно для однозначного определения углов; они могут быть α, α, 180° − α, 180° − α, где 0° < α < 180°.