Задание 8. (2 балла) Расстояние между пристанями А и В равно 99 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошёл 22 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Решение:

Пусть:

• \( S \) — расстояние между пристанями А и В, \( S = 99 \text{ км} \).
• \( v_л \) — скорость лодки в неподвижной воде (км/ч).
• \( v_т \) — скорость течения реки, \( v_т = 2 \text{ км/ч} \).
• \( t_п \) — время в пути плота.
• \( t_л \) — время в пути лодки.

1. Движение плота:

Скорость плота равна скорости течения реки: \( v_п = v_т = 2 \text{ км/ч} \).

Плот прошёл \( 22 \text{ км} \) за время \( t_п \).

\[ t_п = \frac{22 \text{ км}}{2 \text{ км/ч}} = 11 \text{ ч} \]

2. Движение лодки:

Лодка отправилась через 1 час после плота. Значит, время движения лодки \( t_л \) меньше времени движения плота на 1 час:

\[ t_л = t_п - 1 \text{ ч} = 11 \text{ ч} - 1 \text{ ч} = 10 \text{ ч} \]

3. Движение лодки по маршруту:

Лодка проделала путь туда и обратно, всего \( 2S = 2 \times 99 = 198 \text{ км} \).

Скорость лодки по течению: \( v_{л+т} = v_л + v_т = v_л + 2 \) (км/ч).

Скорость лодки против течения: \( v_{л-т} = v_л - v_т = v_л - 2 \) (км/ч).

Время в пути лодки \( t_л \) можно представить как сумму времени движения туда и обратно:

\[ t_л = \frac{S}{v_{л+т}} + \frac{S}{v_{л-т}} \]

\[ 10 = \frac{99}{v_л + 2} + \frac{99}{v_л - 2} \]

Разделим обе части на 99:

\[ \frac{10}{99} = \frac{1}{v_л + 2} + \frac{1}{v_л - 2} \]

Приведём правую часть к общему знаменателю:

\[ \frac{10}{99} = \frac{(v_л - 2) + (v_л + 2)}{(v_л + 2)(v_л - 2)} \]

\[ \frac{10}{99} = \frac{2v_л}{v_л^2 - 4} \]

Теперь решим полученное уравнение:

\[ 10(v_л^2 - 4) = 99(2v_л) \]

\[ 10v_л^2 - 40 = 198v_л \]

\[ 10v_л^2 - 198v_л - 40 = 0 \]

Разделим на 2:

\[ 5v_л^2 - 99v_л - 20 = 0 \]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-99)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-20) = 9801 + 400 = 10201 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{10201} = 101 \]

Найдём \( v_л \):

\[ v_{л1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{99 + 101}{2 \cdot 5} = \frac{200}{10} = 20 \text{ км/ч} \]

\[ v_{л2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{99 - 101}{2 \cdot 5} = \frac{-2}{10} = -0.2 \text{ км/ч} \]

Скорость лодки не может быть отрицательной, поэтому \( v_л = 20 \text{ км/ч} \).

Ответ: 20 км/ч.