Задание 8-2. Найдите НОД (a, b), если a = 2⋅2⋅2⋅3⋅5⋅5, b=3⋅3⋅5⋅5⋅5⋅7:

Решение:

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел, нужно найти их общие простые множители и перемножить их с наименьшей степенью, в которой они встречаются в разложениях обоих чисел.

Дано:

\( a = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^2 \)

\( b = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 = 3^2 \cdot 5^3 \cdot 7^1 \)

Общие простые множители чисел \( a \) и \( b \) — это \( 3 \) и \( 5 \).

Наименьшая степень \( 3 \) в разложении обоих чисел — \( 3^1 \) (в \( a \)).

Наименьшая степень \( 5 \) в разложении обоих чисел — \( 5^2 \) (в \( a \)).

Таким образом, НОД \( (a, b) = 3^1 \cdot 5^2 \).

Вычислим значение:

\( 3 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75 \).

Сравним полученный результат с предложенными вариантами:

1. \( 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \) - это произведение всех множителей, не НОД.
2. \( 1 \) - это не НОД, так как есть общие множители.
3. \( 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \) - здесь не учтены степени множителей.
4. \( 3 \cdot 5 \cdot 5 \) - это \( 3^1 \cdot 5^2 \), что соответствует найденному НОД.

Ответ: 4) \( 3 \cdot 5 \cdot 5 \)