Задание 8: Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 113°, а угол CAD равен 80°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Дано, что четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что угол \(\angle ABC = 113^\circ\) и угол \(\angle CAD = 80^\circ\). Необходимо найти угол \(\angle ABD\). 1. **Находим угол \(\angle ADC\)**: Так как ABCD вписан в окружность, то сумма противоположных углов равна 180°. Значит, $$\angle ADC + \angle ABC = 180^\circ$$ $$\angle ADC + 113^\circ = 180^\circ$$ $$\angle ADC = 180^\circ - 113^\circ = 67^\circ$$ 2. **Находим угол \(\angle ACD\)**: Угол \(\angle CAD\) и угол \(\angle CBD\) опираются на одну и ту же дугу CD, следовательно они равны. $$\angle CBD = \angle CAD = 80^\circ$$ 3. **Находим угол \(\angle ADB\)**: Угол \(\angle ACB\) и \(\angle ADB\) опираются на одну дугу AB, поэтому они равны. Рассмотрим треугольник ABC: $$\angle CAB + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$$ $$\angle ACB = 180^\circ - \angle CAB - \angle ABC$$ Но мы не знаем \(\angle CAB\). Зато знаем \(\angle DAC = 80^\circ\) и \(\angle ABC = 113^\circ\). Известно, что углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, поэтому \(\angle CAD = \angle CBD = 80^\circ\) Рассмотрим теперь треугольник ABD. Сумма углов треугольника равна 180°, тогда \(\angle ABD + \angle ADB + \angle BAD = 180^\circ\) Угол \(\angle BAC\) равен углу \(\angle BDC\), который опирается на ту же дугу BC. Рассмотрим треугольник ADC: \(\angle DAC + \angle ADC + \angle ACD = 180^\circ\). Мы знаем \(\angle CAD = 80^\circ\) и \(\angle ADC = 67^\circ\), тогда \(\angle ACD = 180^\circ - 80^\circ - 67^\circ = 33^\circ\) Рассмотрим треугольник ABC: \(\angle BAC + 113^\circ + \angle ACB = 180^\circ\). Мы знаем, что углы \(\angle BAC = \angle BDC\) и \(\angle ACB = \angle ADB\). Поскольку \(\angle CBD = 80^\circ\), то мы можем найти \(\angle ABD\) используя тот факт, что \(\angle ABC = 113^\circ\). \(\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD\) \(\angle ABD = 113^\circ - 80^\circ = 33^\circ\) Ответ: 33