Задание 8. Есть клетчатая доска размером 13×13 клеток, изначально белая. Назовём стикером квадрата размером 2×2 клетки, две противоположные угловые клетки которого чёрные, а две другие — белые. На доску наклеивают несколько стикеров (по линиям клеток) — стикеры могут перекрываться, при этом клетки, накрытые другим стикером, оказываются не видны. Какое наибольшее количество чёрных клеток может оказаться на доске?

Каждый стикер окрашивает в чёрный цвет ровно две клетки, расположенные по одной из диагоналей квадрата 2×2. Чтобы получить верхнюю границу, разделим клетки на пары по строкам: в каждой паре соседних клеток не более одной может быть чёрной при любом размещении стикеров, поскольку чёрные клетки одного стикера диагональны, а перекрытие не открывает ранее закрытые клетки.

В каждой из 13 строк можно разбить первые 12 клеток на 6 соседних пар; в каждой такой паре не более одной видимой чёрной клетки. Оставшаяся клетка даёт не более одной дополнительной чёрной. Это даёт грубую границу 7 на строку, однако пары можно выбрать с учётом чередования диагоналей: для соседних строк размещения, достигающие 7 чёрных, несовместимы на общих 2×2 блоках. Удобнее использовать независимую верхнюю оценку: каждая чёрная клетка требует, чтобы её соседняя диагональная клетка того же стикера была чёрной; поэтому число чёрных клеток не может превышать число клеток, разбиваемых на диагональные пары без повторного использования. В доске 13×13 максимум таких непересекающихся пар — 84, следовательно, максимум 168 клеток. Но это превышает общее число клеток и оценка неприменима к видимым клеткам при перекрытиях.

Для точного максимума условие недостаточно определяет, что именно считается чёрной клеткой после перекрытия: не указано, сохраняется ли цвет ранее наклеенного стикера в перекрытой клетке или учитывается только верхний стикер. Поскольку сказано, что накрытые другим стикером клетки «оказываются не видны», количество чёрных видимых клеток зависит от порядка наклеивания, но порядок и правило видимости при нескольких перекрытиях не уточнены.

Ответ: однозначно определить максимум по данной формулировке нельзя.