ЗАДАНИЕ №8 Найдите косинус угла между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\).

Для нахождения косинуса угла между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\), сначала определим координаты векторов по координатам точек. По графику определим координаты точек: A(1, -1) B(4, 1) C(0, -2) D(-2, 2) 1. **Найдем координаты вектора \(\vec{AB}\):** $$\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (4 - 1, 1 - (-1)) = (3, 2)$$ 2. **Найдем координаты вектора \(\vec{CD}\):** $$\vec{CD} = (x_D - x_C, y_D - y_C) = (-2 - 0, 2 - (-2)) = (-2, 4)$$ 3. **Найдем скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\):** $$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (3 \cdot -2) + (2 \cdot 4) = -6 + 8 = 2$$ 4. **Найдем модуль вектора \(\vec{AB}\):** $$|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$$ 5. **Найдем модуль вектора \(\vec{CD}\):** $$|\vec{CD}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$ 6. **Подставим значения в формулу косинуса угла:** $$\cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|} = \frac{2}{\sqrt{13} \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{13 \cdot 5}} = \frac{1}{\sqrt{65}}$$ Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{65}\): $$\cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{65}} = \frac{\sqrt{65}}{65}$$ **Ответ:** Косинус угла между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) равен \(\frac{\sqrt{65}}{65}\).