Задание 12: а) Решите уравнение $$2 \sin 2x - 2 \sin x = 0$$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\right]$$.

Решение: a) Решим уравнение $$2 \sin 2x - 2 \sin x = 0$$. Используем формулу двойного угла: $$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$$. Тогда уравнение примет вид: $$2(2 \sin x \cos x) - 2 \sin x = 0$$ $$4 \sin x \cos x - 2 \sin x = 0$$ $$2 \sin x (2 \cos x - 1) = 0$$ Отсюда либо $$\sin x = 0$$, либо $$2 \cos x - 1 = 0$$. Если $$\sin x = 0$$, то $$x = \pi n$$, где $$n \in \mathbb{Z}$$. Если $$2 \cos x - 1 = 0$$, то $$\cos x = \frac{1}{2}$$, откуда $$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$$, где $$k \in \mathbb{Z}$$. б) Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку $$\left[\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\right]$$. Для $$x = \pi n$$: Если $$n = 1$$, то $$x = \pi$$, что не входит в отрезок. Если $$n = 2$$, то $$x = 2\pi$$, что входит в отрезок. Для $$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$$: Если $$k = 0$$, то $$x = \frac{\pi}{3}$$, что не входит в отрезок. Если $$k = 1$$, то $$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} = \frac{14\pi}{6}$$. Так как $$\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$$, а $$\frac{5\pi}{2} = \frac{15\pi}{6}$$, то $$\frac{7\pi}{3}$$ входит в отрезок. Для $$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$$: Если $$k = 0$$, то $$x = -\frac{\pi}{3}$$, что не входит в отрезок. Если $$k = 1$$, то $$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} = \frac{10\pi}{6}$$. Так как $$\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$$, а $$\frac{5\pi}{2} = \frac{15\pi}{6}$$, то $$\frac{5\pi}{3}$$ входит в отрезок. Ответ: Корни, принадлежащие отрезку $$\left[\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\right]$$, это $$2\pi$$, $$\frac{7\pi}{3}$$ и $$\frac{5\pi}{3}$$. Ответ: $$2\pi; \frac{7\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}$$