Задание 13: Основанием прямой треугольной призмы $$ABC A_1B_1C_1$$ является прямоугольный треугольник с прямым углом $$C$$. Известно, что $$AA_1C_1C$$ – квадрат. а) Докажите, что прямые $$AB_1$$ и $$A_1C$$ перпендикулярны. б) Найдите расстояние между прямыми $$CA_1$$ и $$AB_1$$, если $$BC = 20$$ и $$AC = 5$$.

Решение: а) Пусть $$A = (0; 0; 0)$$, $$C = (5; 0; 0)$$, $$B = (0; 20; 0)$$, $$A_1 = (0; 0; 5)$$. Тогда $$B_1 = (0; 20; 5)$$. Вектор $$\vec{AB_1} = (0; 20; 5)$$. Вектор $$\vec{A_1C} = (5; 0; -5)$$. Скалярное произведение векторов $$\vec{AB_1} \cdot \vec{A_1C} = 0 \cdot 5 + 20 \cdot 0 + 5 \cdot (-5) = -25
eq 0$$. Прямые $$AB_1$$ и $$A_1C$$ не перпендикулярны. б) Найдем расстояние между прямыми $$CA_1$$ и $$AB_1$$. $$C = (5; 0; 0)$$, $$A_1 = (0; 0; 5)$$. Тогда $$\vec{CA_1} = (-5; 0; 5)$$. $$A = (0; 0; 0)$$, $$B_1 = (0; 20; 5)$$. Тогда $$\vec{AB_1} = (0; 20; 5)$$. Векторное произведение векторов $$\vec{CA_1}$$ и $$\vec{AB_1}$$: $$\vec{n} = \vec{CA_1} \times \vec{AB_1} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -5 & 0 & 5 \\ 0 & 20 & 5 \end{vmatrix} = (-100; 25; -100)$$ Длина вектора $$\vec{n}$$: $$|\vec{n}| = \sqrt{(-100)^2 + 25^2 + (-100)^2} = \sqrt{10000 + 625 + 10000} = \sqrt{20625} = 25\sqrt{33}$$ Расстояние от точки $$C$$ до прямой $$AB_1$$: $$d = \frac{|\vec{AC} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$$ $$\vec{AC} = (5; 0; 0)$$. $$\vec{AC} \cdot \vec{n} = 5 \cdot (-100) + 0 \cdot 25 + 0 \cdot (-100) = -500$$ $$d = \frac{|-500|}{25\sqrt{33}} = \frac{20}{\sqrt{33}} = \frac{20\sqrt{33}}{33}$$ Ответ: $$\frac{20\sqrt{33}}{33}$$