ЗАДАНИЕ №3 Дан равносторонний треугольник АВС со стороной АВ = 4, АМ – его медиана. Найдите скалярное произведение векторов АВ и АМ. A B C M 12

Решение:

В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к стороне, является также высотой.

Найдём длину медианы AM. В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к стороне, является также высотой. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM, где угол M равен 90 градусов. BM равна половине стороны BC, то есть BM = BC / 2 = 4 / 2 = 2.

По теореме Пифагора:

$$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$.

Скалярное произведение векторов $$\,\vec{AB}$$ и $$\,\vec{AM}$$ равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: $$\,\vec{AB} \cdot \vec{AM} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AM}| \cdot cos(\alpha)$$, где $$\,\alpha$$ - угол между векторами $$\,\vec{AB}$$ и $$\,\vec{AM}$$.

Угол между векторами $$\,\vec{AB}$$ и $$\,\vec{AM}$$ равен углу BAM. Поскольку AM - медиана равностороннего треугольника, то угол BAM равен половине угла BAC, то есть 60°/2 = 30°.

$$cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$.

Подставим известные значения:

$$\vec{AB} \cdot \vec{AM} = 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot 2 \cdot \frac{3}{2} = 12$$.

Ответ: 12